Brüche kommen ständig in mehreren Untertests des TMSnat vor.
Da es für einige von euch schon etwas länger her ist, dass das letzte Mal mit Brüchen gerechnet wurde, wiederholen wir noch einmal schnell die Basics, wie z.B. Multiplikation und Addition von Brüchen.
Danach gehen wir auf die etwas fortgeschrittenen Themen Kehrwerte und Doppelbrüche ein, die regelmäßig im TMSnat vorkommen.
Am Ende des Kapitels erhältst du ein paar Beispielaufgaben, um das Gelernte zu testen.
Bei der Multiplikation von Brüchen werden die jeweiligen Zähler (Zahl oben) miteinander multipliziert und die Nenner (Zahl unten) werden miteinander multipliziert.
Also z.B.:
Im TMSnat kann dies unter anderem beim Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung wichtig werden oder bei Anteilen von Anteilen.
Wahrscheinlichkeitsrechnung:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei einem normalen (sechsseitigen) Würfel zweimal eine Sechs zu würfeln?
Antwort: 1/6 * 1/6 = 1/36
Anteile von Anteilen:
1/5 der Menschen hat die Blutgruppe B, 1/4 hat braune Augen. Welcher Anteil hat Blutgruppe B und braune Augen?
Antwort: 1/5 * 1/4 = 1/20
Denn beide Merkmale zusammen kommen nur etwa bei 1/4 von 1/5 der Personen vor.
Keine Sorge, du wirst in den folgenden Wochen noch hunderte Beispiele von solchen Aufgaben sehen und sie üben 😊
Kürzen oder Erweitern bedeutet, die genauen Zahlen des Zählers und Nenners zu verändern, ohne die Bedeutung des Bruchs an sich zu verändern.
10/20 ist z.B. genau das Gleiche wie 5/10 oder 2/4 oder 1/2, da es immer die Hälfte von einem Ganzen ist.
Diese Brüche lassen sich durch Kürzen oder Erweitern ineinander überführen.
Beim Kürzen eines Bruches macht man die Zahlen des Bruches kleiner, indem man Zähler und Nenner durch das Gleiche teilt.
Wenn man z.B. bei 10/20 sowohl Zähler als auch Nenner durch das Gleiche teilt, erhält man einen Bruch, der genau den gleichen Wert wie der ursprüngliche ergibt. Teilt man beides z.B. durch 10, ergibt sich 1/2.
3/24 kann man zu 1/8 machen, indem man Zähler und Nenner jeweils durch 3 teilt.
Umgekehrt lassen sich Brüche auch erweitern, indem sie mit der gleichen Zahl multipliziert werden.
1/6 ist z.B. das gleiche wie 5/30, da hierbei sowohl Zähler als auch Nenner mit 5 multipliziert wurden.
Das Kürzen oder Erweitern von Brüchen benötigt man zum Beispiel, um Brüche addieren oder subtrahieren zu können.
Außerdem kann es sein, dass du ein selbst errechnetes Ergebnis noch einmal kürzen musst, um die richtige Antwort auswählen zu können. Wenn dein Ergebnis zu einer Aufgabe 3/18 ist, in den Antwortmöglichkeiten aber nur 1/4, 1/5 oder 1/6 vorkommt, dann musst du dein Ergebnis noch einmal kürzen, in diesem Fall z.B. durch 3 teilen, um auf die richtige Antwort 1/6 zu kommen.
Möchte man zwei Brüche addieren oder subtrahieren, muss man die Brüche kürzen oder erweitern, bis die Nenner der beiden Brüche (untere Zahl) gleich sind, dann addiert man die Zähler.
2/4 kann man erweitern zu 4/8.
Somit ergibt sich:
Bei der Subtraktion zieht man einfach die Zähler voneinander ab.
Addition und Subtraktion von Brüchen benötigt man unter anderem, um verschiedene Anteile miteinander verrechnen zu können.
Beispiel: 1/5 aller Studierenden hat den TMSnat nie geschrieben, 3/4 haben ihn einmal geschrieben, der Rest hat ihn zweimal oder öfter geschrieben. Welchem Anteil entspricht dieser Rest?
Antwort: Wir müssen 1/5 und 3/4 addieren, um zu sehen, wie groß der Rest zum Gesamtanteil ist. Dafür erweitern wir die Brüche auf 20:
4/20 + 15/20 = 19/20. Der Rest der Studierenden macht also genau 1/20 aus.
Es gibt auch in Physikthemen einige Zusammenhänge, bei denen Brüche miteinander addiert werden müssen.
So muss man z.B. um den Gesamtwiderstand eines bestimmten Stromkreises zu berechnen eine Rechnung wie 1/3 + 1/5 +1/6 durchführen, wofür man die Brüche erweitern und auf einen gemeinsamen Nenner bringen muss. Der kleinste gemeinsame Nenner wäre hier 30 und die Rechnung somit: 10/30 + 6/30 + 5/30 = 21/30.
Dieses Ergebnis könnte man dann wieder kleiner machen, indem man den Bruch kürzt. Der kleinstmögliche Bruch, der trotzdem noch ganze Zahlen enthält, wäre 7/10, man würde also Zähler und Nenner durch 3 teilen.
Es kann in Aufgaben nötig sein, durch einen Bruch zu teilen, z.B.:
Anstatt durch einen Bruch zu teilen, darf man mit dem Kehrwert des Bruches multiplizieren. Dabei kommt mathematisch exakt das Gleiche heraus.
Der Kehrwert ergibt sich, indem man Zähler und Nenner vertauscht.
Bei der Multiplikation einer ganzen Zahl mit einem Bruch multipliziert man die Zahl nur mit dem Zähler, also der Zahl oben:
Dies ergibt Sinn, wenn man sich vorstellt, dass man jede Zahl zu einem Bruch machen kann, indem man /1 einfügt. 5 kann man sich also auch als 5/1 vorstellen:
Dies funktioniert dann genauso, wenn man zwei Brüche durcheinander teilen muss. Man wandelt den zweiten Bruch einfach in den Kehrwert um, indem man Zähler und Nenner vertauscht, und multipliziert dann:
Der Kehrwert von 3/4 ist 4/3:
Grundsätzlich könnte man auch Zähler durch Zähler teilen und Nenner durch Nenner, jedoch ist die Multiplikation mit dem Kehrwert oft der deutlich leichtere und schnellere Weg.
Merke:
Der Kehrwert eines Bruches ergibt sich, indem man den Bruch umdreht.
Anstatt durch einen Bruch zu teilen, darf man mit dem Kehrwert des Bruches multiplizieren.
Zahlen, die vorher kein Bruch waren, macht man zum Kehrwert, indem man die Zahl in 1/Zahl umwandelt.
Der Kehrwert von 4 ist also 1/4.
Der Kehrwert von 8 ist 1/8.
Der Kehrwert wird auch als Reziproke bezeichnet.
In TMSnat-Aufgaben kann auch mal dieser Begriff fallen, z.B. „Was ist das Reziproke von 400?“.
(Antwort: 1/400)
Der Trick, dass man anstatt zu teilen, auch mit dem Kehrwert multiplizieren kann, ist manchmal sogar in Aufgaben ohne Brüche hilfreich, wenn die Zahl nicht ideal zum Dividieren ist.
Zum Beispiel:
260 / 0,4 = ?
Der Kehrwert von 0,4 ist 1/0,4, was 2,5 ergibt, da die 0,4 genau 2,5x in die 1 passt.
Beim Dividieren fragt ja immer, wie oft die untere Zahl in die obere Zahl passt.
Statt 260 / 0,4 zu rechnen, kann man daher auch 260 * 2,5 rechnen. Und diese Rechnung würde vielen leichter fallen und schneller gehen.
Nach einigen Übungsaufgaben wirst du schnell Kehrwerte von häufig vorkommenden Zahlen bilden können, unter anderem:
Der Kehrwert von 0,2 ist 5, der Kehrwert von 0,25 ist 4, der Kehrwert von 0,4 ist 2,5.
Du brauchst es dir also nicht zu merken, sondern wirst es automatisch verinnerlichen.
Nach genau dem gleichen Prinzip kann man auch – statt mit einer Zahl zu multiplizieren – mit dem Kehrwert dividieren, was manchmal leichter ist:
56 * 0,25 = 56 /4 = 14
4 ist der Kehrwert von 0,25, denn: 1/0,25 = 4.
Im TMSnat kommen auch Doppelbrüche vor. Das sind Brüche, die einen weiteren Bruch enthalten. Zum Beispiel so:
Solche Doppelbrüche lassen sich genau dadurch lösen, was wir davor besprochen haben: Statt zu dividieren, multipliziert man einfach mit dem Kehrwert:
= ca. 5,33, falls man mit einer Zahl statt Bruch weiterrechnen muss oder möchte.
Noch einmal zur Erinnerung: Bei 4 * 4/3 wird nur der Zähler mit 4 multipliziert, nicht der Nenner! Denn 4 ist das Gleiche wie 4/1 und damit ist 4/1 * 4/3 = 16/3.
Die Aufgaben zu Doppelbrüchen, die in meinen beiden TMS-Durchgängen vorkamen, ließen sich beide auf diesem Weg leicht lösen.
Beim Multiplizieren von Brüchen multipliziert man alle Zähler und alle Nenner einzeln miteinander:
Bei noch mehr Zahlen erweitert sich dies dementsprechend:
Beim Erweitern oder Kürzen von Brüchen verändert man zwar die genauen Zahlen von Zähler und Nenner, die Bedeutung des Gesamtbruches bleibt aber gleich. Dies funktioniert nur, wenn man Zähler und Nenner mit dem gleichen Wert multipliziert (Erweitern von Brüchen) bzw. durch den gleichen Wert teilt (Kürzen von Brüchen).
Bei der Addition und Subtraktion von Brüchen muss man zunächst die Brüche auf den gleichen Nenner bringen (durch Erweitern oder Kürzen) und kann dann die Zähler miteinander addieren bzw. subtrahieren.
Der Kehrwert eines Bruches entspricht einer Vertauschung von Zähler und Nenner.
Der Kehrwert einer Zahl, die kein Bruch ist, entspricht 1/Zahl.
Der Kehrwert wird auch als Reziproke bezeichnet.
Wenn Brüche durcheinander geteilt werden sollen, kann man stattdessen mit dem Kehrwert des Bruches multiplizieren.
Dies kann man auch bei anderen Zahlen ohne Brüche anwenden, indem man anstatt zu Dividieren mit dem Kehrwert multipliziert.
Doppelbrüche (Brüche in Brüchen) löst man ebenfalls auf, indem man mit dem Kehrwert des Bruches multipliziert.